Erwartete Rückkehr, Abweichung und Standardabweichung eines Abschnitts 13 Abweichung gewichtet dann jede quadrierte Abweichung durch ihre Wahrscheinlichkeit, was uns die folgende Berechnung ergibt: 13Jetzt, daß wir über ein einfaches Beispiel gegangen sind, wie die Varianz zu berechnen ist, können wir auf Portfolioabweichung schauen. 13Die Varianz eines Portfolios Rendite ist eine Funktion der Varianz der Komponenten Vermögenswerte sowie die Kovarianz zwischen jedem von ihnen. Kovarianz ist ein Maß für den Grad, in dem sich die Renditen auf zwei riskante Vermögenswerte im Tandem bewegen. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass sich die Vermögenswerte zusammen bewegen. Eine negative Kovarianz bedeutet Rückkehrbewegung umgekehrt. Kovarianz ist eng mit der Korrelation verknüpft, wobei die Differenz zwischen den beiden ist, dass letztere Faktoren in der Standardabweichung. Die moderne Portfolio-Theorie besagt, dass die Portfolio-Varianz durch die Auswahl von Asset-Klassen mit niedriger oder negativer Kovarianz, wie Aktien und Anleihen, reduziert werden kann. Diese Art der Diversifizierung wird verwendet, um das Risiko zu reduzieren. 13Portfolio-Varianz betrachtet den Kovarianz - oder Korrelationskoeffizienten für die Wertpapiere des Portfolios. Die Portfolioabweichung wird berechnet, indem das quadrierte Gewicht jedes Wertpapiers mit seiner entsprechenden Varianz multipliziert wird und das zweifache des gewichteten Durchschnittsgewichts multipliziert mit der Kovarianz aller einzelnen Sicherheitspaare addiert wird. (1) 2Varianz (1) Gewicht (2) 2Varianz (2) 2Gewicht (1) Gewicht (2) Kovarianz (1, 2) Hier ist die folgende Formel: 13 Aus dieser Matrix wissen wir, dass die Varianz auf den Aktien 350 ist (die Kovarianz eines Vermögenswertes an sich entspricht der Varianz), die Varianz auf Anleihen 150 und die Kovarianz zwischen Aktien und Anleihen 80 (WB) (wB) (wB) (wB) (wB) w 2 B 2 (w) (w B) Cov (RB) (0,5) 2 (350) (0,5) 2 (150) 2 (0,5) (0,5) (80) 87,5 37,5 40 165. Standardabweichung Die Standardabweichung kann auf zwei Arten definiert werden: 131. Maßnahme Der Ausbreitung eines Datensatzes aus seinem Mittelwert dar. Je größer die Ausbreitung der Daten ist, desto höher ist die Abweichung Die Standardabweichung wird als Quadratwurzel der Varianz berechnet 2. In der Finanzierung wird die Standardabweichung auf die jährliche Rendite angewendet Einer Investition zur Messung der Investitionsvolatilität. Die Standardabweichung wird auch als historische Volatilität bezeichnet und wird von den Anlegern als Maßstab für die erwartete Volatilität verwendet. 13 Standardabweichung ist eine statistische Messung, die die historische Volatilität beleuchtet. Zum Beispiel hat ein flüchtiger Bestandteil eine hohe Standardabweichung, während ein stabiler blauer Chipstock eine niedrigere Standardabweichung aufweist. Eine große Streuung sagt uns, wie viel die Rückflüsse von den erwarteten normalen Renditen abweichen. Beispiel: Standardabweichung Die Standardabweichung () ergibt sich aus der Quadratwurzel der Varianz: Zur Veranschaulichung dieses Prinzips haben wir ein Zwei-Asset-Portfolio verwendet, aber die meisten Portfolios enthalten weit mehr als zwei Vermögenswerte. Die Formel für Varianz wird komplizierter für Multi-Asset-Portfolios. Alle Ausdrücke in einer Kovarianzmatrix müssen der Berechnung hinzugefügt werden. 13Lets Blick auf ein zweites Beispiel, das die Konzepte der Varianz und Standardabweichung zusammen setzt. Beispiel: Varianz und Standardabweichung einer Anlage Anhand der folgenden Daten für die Newcos-Aktie ermitteln Sie die Bestandsabweichung und die Standardabweichung. Die erwartete Rendite basierend auf den Daten ist 14.Advanced Wahrscheinlichkeitskonzepte Kovarianz 13Kovarianz ist ein Maß für die Beziehung zwischen zwei zufälligen Variablen, um den Grad der Ko-Bewegung zwischen ihnen zu zeigen. Die Kovarianz wird auf der Grundlage des wahrscheinlichkeitsgewichteten Durchschnitts der Cross-Produkte jeder Zufallsvariablen-Abweichung von ihrem eigenen Erwartungswert berechnet. Eine positive Zahl gibt die Ko-Bewegung an (d. h. die Variablen neigen dazu, sich in derselben Richtung zu bewegen), ein Wert von 0 gibt keine Beziehung an und eine negative Kovarianz zeigt, daß sich die Variablen in die entgegengesetzte Richtung bewegen. 13Der Prozess zur tatsächlichen Berechnung von Kovarianzwerten ist kompliziert und zeitaufwendig, und es ist wahrscheinlich, dass er nicht auf einer CFA-Prüfungsfrage abgedeckt wird. Obwohl die detaillierten Formeln und Beispiele von Berechnungen in den Referenztext, für die meisten Menschen, Ausgaben zu viel wertvolle Studie Zeit absorbieren diese Details werden Sie mit Details, die wahrscheinlich nicht getestet werden gebrochen werden. Korrelation 13Korrelation ist ein Konzept, das sich auf Kovarianz bezieht, da es auch einen Hinweis darauf gibt, inwieweit zwei zufällige Variablen zusammenhängen, und (wie Kovarianz) zeigt das Vorzeichen die Richtung dieser Beziehung an (positiv () bedeutet, dass sich die Variablen negativ bewegen (-) bedeutet umgekehrt). Die Korrelation von 0 bedeutet, daß es keine lineare Beziehung zu einer oder der anderen gibt, und die beiden Variablen gelten als nicht verwandt. 13A-Korrelationszahl ist viel leichter zu interpretieren als Kovarianz, da ein Korrelationswert immer zwischen -1 und 1 liegt. 13-1 bezeichnet eine vollkommen inverse Beziehung (eine Einheitsänderung in einer bedeutet, dass die andere eine Einheitenänderung in der entgegengesetzten Richtung aufweist ) 13 1 bedeutet eine vollkommen positive lineare Beziehung (Einheit wechselt in einem immer die gleichen Einheitenänderungen in der anderen). 13 Darüber hinaus gibt es eine einheitliche Skala von -1 bis 1, so dass, wenn sich Korrelationswerte näher an 1 bewegen, die beiden Variablen enger miteinander verknüpft sind. Im Gegensatz dazu könnte ein Kovarianzwert zwischen zwei Variablen sehr groß sein und wenig tatsächliche Beziehung anzeigen oder sehr klein aussehen, wenn es tatsächlich eine starke lineare Korrelation gibt. Die Korrelation ist definiert als das Verhältnis der Kovarianz zwischen zwei Zufallsvariablen und dem Produkt ihrer beiden Standardabweichungen, wie es in der folgenden Formel dargestellt wird: 13 Formel 2.24 13 Korrelation (A, B) Kovarianz (A, B) 13 Standardabweichung (A (A, B) Korrelation (A, B) Standardabweichung (A) Standardabweichung (B) 13Bei einer Berechnung, bei der die Korrelation und Kovarianz mit diesen Formeln wahrscheinlich sind, Andere Begriffe werden zur Verfügung gestellt. Eine solche Übung erfordert einfach die Erinnerung an die Beziehung und ersetzt die Begriffe bereitgestellt. Wenn beispielsweise eine Kovarianz zwischen zwei Zahlen von 30 gegeben ist und Standardabweichungen 5 und 15 sind, wäre die Korrelation 30 (5) (15) 0,40. Wenn Sie eine Korrelation von 0,40 und Standardabweichungen von 5 und 15 erhalten, wäre die Kovarianz (0,4) (5) (15) oder 30. Erwartete Rendite, Abweichung und Standardabweichung eines Portfolios 13 Die erwartete Rendite wird als gewichtet berechnet Durchschnitt der erwarteten Renditen der Vermögenswerte des Portfolios, gewichtet mit der erwarteten Rendite pro Anlageklasse. Für ein einfaches Portfolio von zwei Investmentfonds, eines in Aktien und das andere in Anleihen zu investieren, wenn wir erwarten, dass der Aktienfonds 10 zurückgibt und der Rentenfonds 6 zurückgibt und unsere Allokation 50 zu jeder Anlageklasse beträgt, haben wir: 13Expected (0,1) (0,5) (0,06) (0,5) 0,08 oder 8 Varianz (2) berechnet wird, indem der Wahrscheinlichkeitsgewichtete Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom erwarteten Wert ermittelt wird. Beispiel: Varianz 13 In unserem bisherigen Beispiel zur Umsatzprognose haben wir festgestellt, dass der erwartete Wert 14,2 Millionen betrug. Berechnen der Abweichung beginnt mit der Berechnung der Abweichungen von 14,2 Millionen, dann die Quadrierung: 13 Antwort: 13Variance gewichtet jede quadrierte Abweichung durch ihre Wahrscheinlichkeit: (0.1) (3.24) (0.3) (0.64) (0.3) (0.04) (0.3) (1.44) 0,96 13Die Varianz der Rendite ist eine Funktion der Varianz der Komponentenvermögen sowie der Kovarianz zwischen jedem von ihnen. In der modernen Portfolio-Theorie wird eine geringe oder negative Korrelation zwischen den Assetklassen die Gesamtabweichung des Portfolios reduzieren. Die Formel für die Portfolio-Varianz im einfachen Fall eines Zwei-Asset-Portfolios ist gegeben durch: 13 Beispiel: Portfolio-Varianz 13Daten über Varianz und Kovarianz können in einer Kovarianzmatrix dargestellt werden. Wir nehmen die folgende Kovarianzmatrix für unseren Zwei-Asset-Fall an: Aus dieser Matrix wissen wir, dass die Varianz auf den Aktien 350 ist (die Kovarianz eines Vermögenswertes an sich entspricht seiner Varianz), die Varianz auf Anleihen ist 150 und die Kovarianz zwischen den Aktien und Anleihen ist 80. Angesichts unserer Portfolio-Gewichte von 0,5 für Aktien und Anleihen, haben wir alle Bedingungen benötigt, um für Portfolio-Varianz zu lösen. Die Standardabweichung (), wie sie früher definiert wurde, wenn wir die Statistik diskutieren, ist die positive Quadratwurzel der Varianz. In unserem Beispiel, (0,96) 12. oder 0,978 Millionen. Die Standardabweichung ergibt sich aus der Quadratwurzel der Varianz: 13A Zwei-Asset-Portfolios wurden verwendet, um dieses Prinzip zu veranschaulichen. Die meisten Portfolios enthalten weit mehr als zwei Vermögenswerte, und die Abweichungsformel wird für Multi-Asset-Portfolios komplizierter Kovarianzmatrix der Berechnung hinzugefügt werden). Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Kovarianz 13Lets verwenden nun die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion zur Berechnung der Kovarianz: Beispiel: Kovarianz aus einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion 13 Um diese Berechnung zu veranschaulichen, können wir ein Beispiel annehmen, in dem wir das Umsatzwachstum von GM und Ford im Vergleich zum Vorjahr geschätzt haben Drei Industrie-Umgebungen: stark (30 Wahrscheinlichkeit), durchschnittlich (40) und schwach (30). Unsere Schätzungen sind in der folgenden gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben: 13 Die letzte Spalte (prob-wtd.) Wurde durch Multiplikation des Kreuzprodukts (Spalte 4) mit der Wahrscheinlichkeit dieses Szenarios gefunden (Spalte 5). 13Die Kovarianz wird durch Addition der Werte in der letzten Spalte gefunden: 6.5340.0728.214 14.82. Bayes Formel 13 Wir alle kennen intuitiv das Prinzip, das wir aus Erfahrung lernen. Für ein Analyst, Lernen aus der Erfahrung nimmt die Form der Anpassung Erwartungen (und Wahrscheinlichkeit Schätzungen) auf der Grundlage neuer Informationen. Bayes Formel nimmt dieses Prinzip grundsätzlich an und wendet es auf die Wahrscheinlichkeitskonzepte an, die wir bereits gelernt haben, indem wir zeigen, wie eine aktualisierte Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, die neue Wahrscheinlichkeit angesichts dieser neuen Information. Bayes Formel ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit, da neue Informationen: Bedingte Wahrscheinlichkeit der neuen info. (Vorauswahrscheinlichkeit des Ereignisses) 13Unter bedingte Wahrscheinlichkeit neuer Informationen 13 Die Multiplikationsregel des Zählens 13 Die Multiplikationsregel des Zählens gibt an, ob die angegebene Anzahl von Aufgaben durch k und n 1 gegeben ist. N 2. N 3,. N k Variablen sind, die für die Anzahl der Wege verwendet werden, auf die jede dieser Aufgaben ausgeführt werden kann, dann wird die Gesamtanzahl von Möglichkeiten, k Aufgaben durchzuführen, durch Multiplizieren aller n & sub1; N 2. N 3,. N k Variablen zusammen. 13Nehmen Sie einen Prozess mit vier Schritten: 13 Anzahl der Wege 13 dieser Schritt getan werden kann 13Dieser Prozess kann insgesamt 90 Wege getan werden. (6) (3) (1) (5) 90. Factorial Notation 13n n (n - 1) (n - 2). Mit anderen Worten ist 5. oder 5 faktoriell gleich (5) (4) (3) (2) (1) 120. Bei Zählproblemen wird es verwendet, wenn es eine gegebene Gruppe der Größe n gibt und die Aufgabe ist es, die Gruppe auf n Slots zuzuordnen, dann ist die Anzahl der Wege, die diese Zuordnungen ausführen können, durch n gegeben. Wenn wir fünf Mitarbeiter verwalten und fünf Jobfunktionen haben, beträgt die Anzahl der möglichen Kombinationen 5 120. Kombinations-Notation 13Kombinations-Notation bezieht sich auf die Anzahl der Möglichkeiten, wie wir r Objekte aus insgesamt n Objekten wählen können, wenn die Reihenfolge, in der die R-Objekte aufgeführt ist, spielt keine Rolle. Wenn wir unsere fünf Angestellten haben und wir drei von ihnen wählen müssten, um an einem neuen Projekt zusammenzuarbeiten, wo sie gleiche Mitglieder sind (dh die Reihenfolge, in der wir sie wählen, ist das nicht wichtig), sagt uns Formel Gibt es 5 (5 - 3) 3 120 (2) (6) 12012 oder 10 mögliche Kombinationen. Permutationsnotation 13Permutationsnotation nimmt denselben Fall (Auswahl von r-Objekten aus einer Gruppe von n) an, nimmt aber an, dass die Reihenfolge, in der r aufgeführt ist, von Bedeutung ist. Es ist durch diese Notation gegeben: Wenn wir uns an unser Beispiel wenden wollten, wenn wir nicht nur drei Mitarbeiter für unser Projekt wählen wollten, sondern eine Hierarchie (Führer, Unterbefehlshaber, Untergebene) unter Verwendung der Permutationsformel herstellen wollten, Hätte 5 (5 - 3) 1202 60 mögliche Wege. 13Nun, können überlegen, wie die Probleme zu berechnen, die die Anzahl der Wege, um robjects aus einer Gesamtzahl von nobjects, wenn die Reihenfolge, in der die robjects aufgeführt sind Fragen, und wenn die Reihenfolge spielt keine Rolle. 13 Die Kombinationsformel wird verwendet, wenn die Ordnung von r nicht von Bedeutung ist. Für die Auswahl von drei Objekten aus insgesamt fünf Objekten fanden wir 5 (5 - 3) 3. Oder 10 Wege. 13 Die Permutationsformel wird verwendet, wenn die Reihenfolge r von Bedeutung ist. Für die Auswahl von drei Objekten aus insgesamt fünf Objekten fanden wir 5 (5 - 3). Oder 60 Wege.
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