Moving Average Impulsantwort

Die Wissenschaftler und Ingenieure Leitfaden für digitale Signalverarbeitung Von Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 5: Lineare Systeme Beachten Sie, dass das Ziel dieser Methode ist, ein kompliziertes Problem durch mehrere einfache zu ersetzen. Wenn die Zersetzung nicht vereinfacht die Situation in irgendeiner Weise, dann nichts gewonnen hat. Es gibt zwei Hauptwege, um Signale in der Signalverarbeitung zu zerlegen: Impulszerlegung und Fourierzersetzung. In den nächsten Kapiteln wird ausführlich beschrieben. Zudem werden gelegentlich mehrere kleinere Zersetzungen angewendet. Hier sind kurze Beschreibungen der beiden großen Zerlegungen, zusammen mit drei kleinen. Impulszersetzung Wie in Fig. 5-12 zerbricht die Impulszerlegung ein N Abtastsignal in N Komponentensignale, die jeweils N Abtastwerte enthalten. Jedes der Komponentensignale enthält einen Punkt aus dem Originalsignal, wobei der Rest der Werte Null ist. Ein einzelner Nullpunkt in einer Folge von Nullen wird Impuls genannt. Die Impulszerlegung ist wichtig, da es erlaubt, dass die Signale jeweils nur eine Probe untersucht werden können. Ähnlich sind Systeme dadurch gekennzeichnet, wie sie auf Impulse reagieren. Wenn man weiß, wie ein System auf einen Impuls reagiert, kann die Systemausgabe für jede gegebene Eingabe berechnet werden. Dieser Ansatz wird als Faltung bezeichnet. Und ist das Thema der nächsten beiden Kapitel. Schritt Zersetzung Schritt Zerlegung, gezeigt in Fig. 5-13, bricht ebenfalls ein N Abtastsignal in N Komponentensignale, die jeweils aus N Abtastwerten zusammengesetzt sind. Jedes Komponentensignal ist ein Schritt. Dh die ersten Abtastwerte haben einen Wert von Null, während die letzten Abtastwerte einen konstanten Wert haben. Man betrachte die Zerlegung eines N-Punkt-Signals, xn. In die Komponenten x 0 n. X 1 n. X 2 n. 8230, x N-1 n. Das k-te Komponentensignal x k n. Besteht aus Nullen für die Punkte 0 bis k - 1, während die verbleibenden Punkte einen Wert von xk - xk - 1 haben. Beispielsweise kann das fünfte Komponentensignal x 5 n. Besteht aus Nullen für die Punkte 0 bis 4, während die verbleibenden Abtastwerte einen Wert von: x5 - x4 (die Differenz zwischen Abtastwert 4 und 5 des ursprünglichen Signals) haben. Als Sonderfall hat x 0 n alle seine Abtastwerte gleich x0. So wie die Impulszerlegung die Signale einen Punkt zu einem Zeitpunkt betrachtet, charakterisiert die Schrittzerlegung Signale durch die Differenz zwischen benachbarten Abtastwerten. Ebenso sind Systeme dadurch gekennzeichnet, wie sie auf eine Änderung des Eingangssignals reagieren. EvenOdd-Zerlegung Die in Abb. 5-14, ein Signal in zwei Komponentensignale unterteilt, wobei eine Symmetrie und die andere eine ungerade Symmetrie aufweist. Ein N-Punkt-Signal soll sogar Symmetrie aufweisen, wenn es ein Spiegelbild um den Punkt N2 herum ist. Das heißt, die Stichprobe xN2 1 muss gleich xN2 - 1 sein. Muss xN2 2 gleich xN2 - 2 sein. Etc. Ähnlich tritt eine ungerade Symmetrie auf, wenn die Anpassungspunkte gleiche Größen haben, aber im Vorzeichen entgegengesetzt sind, wie zum Beispiel: xN2 1 - xN2 - 1. XN² & sub2; - xN & sub2; - 2. Usw. Diese Definitionen nehmen an, dass das Signal aus einer geraden Anzahl von Abtastwerten besteht und dass die Indizes von 0 bis N-1 laufen. Die Zerlegung wird aus den Beziehungen berechnet: Dies mag eine seltsame Definition der Links-Rechts-Symmetrie erscheinen, da N2-frac12 (zwischen zwei Proben) die exakte Mitte des Signals, nicht N2, ist. Ebenso bedeutet diese außermittige Symmetrie, dass die Nullprobe eine besondere Handhabung erfordert. Was ist das alles über Diese Zerlegung ist Teil eines wichtigen Konzeptes in DSP genannt kreisförmige Symmetrie. Es basiert auf der Betrachtung des Endes des Signals, das mit dem Beginn des Signals verbunden ist. Genau wie Punkt x 4 neben Punkt x 5 ist, ist Punkt xN-1 neben Punkt x0. Bild eine Schlange, die ihren eigenen Schwanz beißt. Wenn gerade und ungerade Signale in dieser kreisförmigen Weise betrachtet werden, gibt es tatsächlich zwei Symmetrielinien, eine am Punkt xN2 und eine andere am Punkt x0. Beispielsweise bedeutet diese Symmetrie um x0, dass Punkt x1 dem Punkt xN-1 entspricht. Punkt x2 entspricht Punkt xN-2. Usw. In einem ungeraden Signal weisen Punkt 0 und Punkt N2 immer einen Wert von Null auf. In einem geraden Signal sind der Punkt 0 und der Punkt N2 gleich den entsprechenden Punkten im ursprünglichen Signal. Was ist die Motivation für die Anzeige der letzten Probe in einem Signal als neben der ersten Probe Es gibt nichts in der konventionellen Datenerfassung, um diese kreisförmige Vorstellung zu unterstützen. Tatsächlich haben die ersten und letzten Proben im allgemeinen weniger gemeinsam als alle anderen zwei Punkte in der Sequenz. Sein gesunder Menschenverstand Das fehlende Stück zu diesem Puzzle ist eine DSP-Technik namens Fourier-Analyse. Die Mathematik der Fourier-Analyse betrachtet das Signal inhärent als kreisförmig, obwohl es in der Regel keine physikalische Bedeutung hat, woher die Daten kommen. Wir werden dies in Kapitel 10 genauer betrachten. Für das Wichtigste ist zu verstehen, daß Gl. 5-1 liefert eine gültige Zerlegung, nur weil die geraden und ungeraden Teile zusammen addiert werden können, um das ursprüngliche Signal zu rekonstruieren. Interlaced-Zersetzung Wie in Fig. 5-15 zerbricht die Interlaced-Zerlegung das Signal in zwei Komponentensignale, das gerade Abtastsignal und das ungerade Abtastsignal (nicht zu verwechseln mit geraden und ungeraden Symmetrie-Signalen). Um das gerade Abtastsignal zu finden, beginnen Sie mit dem ursprünglichen Signal und setzen alle ungeradzahligen Abtastwerte auf Null. Um das ungerade Abtastsignal zu finden, beginnen Sie mit dem ursprünglichen Signal und setzen alle geradzahligen Abtastwerte auf Null. Es ist so einfach. Auf den ersten Blick mag diese Zersetzung trivial und uninteressant erscheinen. Dies ist ironisch, da die Interlaced-Dekomposition die Basis für einen extrem wichtigen Algorithmus in DSP, der Fast Fourier Transformation (FFT) ist. Das Verfahren zur Berechnung der Fourierzersetzung ist seit mehreren hundert Jahren bekannt. Leider ist es frustrierend langsam, oft erfordern Minuten oder Stunden auf heutigen Computern auszuführen. Die FFT ist eine Familie von Algorithmen, die in den 1960er Jahren entwickelt wurden, um diese Rechenzeit zu reduzieren. Die Strategie ist ein exquisites Beispiel für DSP: reduzieren das Signal auf elementare Komponenten durch wiederholte Verwendung der Interlace-Transformation berechnen die Fourier-Zerlegung der einzelnen Komponenten synthetisiert die Ergebnisse in die endgültige Antwort. Die Ergebnisse sind dramatisch, es ist üblich, dass die Geschwindigkeit um einen Faktor von Hunderten oder Tausenden verbessert werden. Fourier Zerlegung Fourier Zerlegung ist sehr mathematisch und überhaupt nicht offensichtlich. Abbildung 5-16 zeigt ein Beispiel der Technik. Jedes N-Punkt-Signal kann in N2-Signale zerlegt werden, die Hälfte von ihnen Sinuswellen und die Hälfte von ihnen Cosinuswellen. Die Cosinuswelle mit der niedrigsten Frequenz (in dieser Darstellung als xC0n bezeichnet) macht null vollständige Zyklen über die N Abtastwerte, d. h. es ist ein Gleichstromsignal. Die nächsten Cosinus-Komponenten: x C1 n. X C2 n. Und x C3 n. Machen 1, 2 und 3 vollständige Zyklen über die N Proben. Dieses Muster gilt für den Rest der Cosinuswellen sowie für die Sinuswellenkomponenten. Da die Frequenz jeder Komponente fixiert ist, ist das einzige, was sich für verschiedene zerlegte Signale ändert, die Amplitude jeder der Sinus - und Cosinuswellen. Fourier-Zerlegung ist aus drei Gründen wichtig. Zunächst wird eine Vielzahl von Signalen von überlagerten Sinusoiden erzeugt. Audiosignale sind ein gutes Beispiel dafür. Die Fourier-Zerlegung liefert eine direkte Analyse der in diesen Signaltypen enthaltenen Informationen. Zweitens reagieren lineare Systeme auf Sinusoide auf eine einzigartige Weise: Eine sinusförmige Eingabe führt immer zu einer sinusförmigen Ausgabe. In diesem Ansatz sind Systeme dadurch gekennzeichnet, wie sie die Amplitude und Phase der Sinusoide, die sie durchlaufen, verändern. Da ein Eingangssignal in Sinusoide zerlegt werden kann, kann man erkennen, wie ein System auf Sinusoide reagiert. Drittens ist die Fourier-Zerlegung die Basis für einen breiten und mächtigen Bereich der Mathematik, der Fourier-Analyse genannt wird. Und die noch weiter fortgeschrittenen Laplace - und z-Transformationen. Die meisten modernsten DSP-Algorithmen basieren auf einigen Aspekten dieser Techniken. Warum ist es möglich, ein beliebiges Signal in Sinus - und Cosinuswellen zu zerlegen? Wie werden die Amplituden dieser Sinusoide für ein bestimmtes Signal bestimmt? Welche Arten von Systemen können mit dieser Technik entworfen werden? Dies sind die Fragen, die in späteren Kapiteln beantwortet werden sollen. Die Details der Fourier-Zerlegung sind zu eng, um in diesem kurzen Überblick dargestellt zu werden. Für heute ist die wichtige Idee zu verstehen, dass, wenn alle Komponenten sinusoids zusammen sind, das ursprüngliche Signal genau rekonstruiert wird. Viel mehr dazu in Kapitel 8. Die Wissenschaftler und Ingenieure Leitfaden für digitale Signalverarbeitung Von Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 6 - Faltung Die Delta-Funktion und die Impulsantwort Kapitel 6: Faltung Die Delta-Funktion und die Impulsantwort Das vorige Kapitel beschreibt, wie ein Signal in eine Gruppe von Komponenten, Impulse genannt, zerlegt werden kann. Ein Impuls ist ein Signal, das aus allen Nullen besteht, mit Ausnahme eines einzelnen Nullpunktes. Tatsächlich bietet die Impulszersetzung eine Möglichkeit, Signale pro Sekunde zu analysieren. Das vorhergehende Kapitel zeigte auch das Grundkonzept des DSP: Das Eingangssignal wird in einfache additive Komponenten zerlegt, jede dieser Komponenten wird durch ein lineares System geleitet und die resultierenden Ausgangskomponenten werden synthetisiert (addiert). Das aus diesem Teilungs-und-Eroberungsverfahren resultierende Signal ist identisch mit dem, das durch direktes Durchleiten des ursprünglichen Signals durch das System erhalten wird. Während viele verschiedene Zerlegungen möglich sind, bilden zwei das Rückgrat der Signalverarbeitung: Impulszerlegung und Fourierzersetzung. Wenn Impulszersetzung verwendet wird, kann die Prozedur durch eine mathematische Operation beschrieben werden, die als Faltung bezeichnet wird. In diesem Kapitel (und den meisten der folgenden) beschäftigen wir uns nur mit diskreten Signalen. Convolution gilt auch für kontinuierliche Signale, aber die Mathematik ist komplizierter. Wir werden uns anschauen, wie kontinuierliche Signale in Kapitel 13 verarbeitet werden. Abbildung 6-1 definiert zwei wichtige Begriffe, die in DSP verwendet werden. Die erste ist die Delta-Funktion. Symbolisiert durch den griechischen Buchstaben delta, delta n. Die Delta-Funktion ist ein normalisierter Impuls, dh die Abtastzahl Null hat einen Wert von Eins, während alle anderen Abtastwerte einen Wert von Null haben. Aus diesem Grund wird die Delta-Funktion häufig als Einheitsimpuls bezeichnet. Der zweite Term, der in Fig. 6-1 ist die Impulsantwort. Wie der Name schon sagt, ist die Impulsantwort das Signal, das ein System verlässt, wenn eine Delta-Funktion (Einheitsimpuls) der Eingang ist. Wenn zwei Systeme in irgendeiner Weise unterschiedlich sind, haben sie unterschiedliche Impulsantworten. So wie die Eingangs - und Ausgangssignale oft als x n und y n bezeichnet werden, wird der Impulsantwort gewöhnlich das Symbol h n gegeben. Selbstverständlich kann dies geändert werden, wenn ein beschreibenderer Name verfügbar ist, beispielsweise kann fn verwendet werden, um die Impulsantwort eines Filters zu identifizieren. Jeder Impuls kann als verschobene und skalierte Deltafunktion dargestellt werden. Man betrachte ein Signal n, das aus allen Nullen besteht, außer der Probennummer 8, die einen Wert von -3 aufweist. Dies ist die gleiche wie eine um 8 Abtastungen nach rechts verschobene Delta-Funktion und multipliziert mit -3. In Gleichung: a n -3delta n -8. Vergewissern Sie sich, diese Notation zu verstehen, sie wird in fast allen DSP-Gleichungen verwendet. Wenn der Eingang zu einem System ein Impuls ist, wie -3948 n -8, was ist der Systemausgang Hier werden die Eigenschaften von Homogenität und Verschiebungsinvarianz verwendet. Das Skalieren und Verschieben der Eingabe führt zu einer identischen Skalierung und Verschiebung des Ausgangs. Wenn delta n zu h n führt, ergibt sich, dass -3948 n -8 zu -3 h n -8 führt. In Worten ist die Ausgabe eine Version der Impulsantwort, die um den gleichen Betrag verschoben und skaliert wurde wie die Delta-Funktion am Eingang. Wenn Sie eine Systemimpulsantwort kennen, wissen Sie sofort, wie sie auf jeden Impuls reagieren wird.